Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；

（3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；

（4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．

Answer 1

【答案】（1） A（-1，0），B（3，0），（2）y=-x2+x+，（3） a=或a=；（4）a1=，a2=．

【解析】

试题分析：（1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；

（2）根据抛物线解析式确定出点C，D的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可．

（3）△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD为底时，则C，D关于x轴对称，建立方程求解，②以AC为底时，则AD=CD，建立方程求解，③以AD为底时，则AC=CD，建立方程求解即可．

（4）先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a，从而求出直线l与抛物线的交点M（，），然后表示出AM，AC建立方程即可．

试题解析：（1）令y=0，

∴a（x-1）2-4a=0，

∵a＞0，

∴（x-1）2-4=0

∴x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

（2）∵y=a（x-1）2-4a，

∴抛物线的顶点C（1，-4a），对称轴为x=1，

∴D（1，3），

设经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=m（x-1）2+3，

∴m=-，

∴经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=-（x-1）2+3=-x2+x+，

（3）当△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算，

①以CD为底时，则C，D关于X轴对称，

∴C（1，-3），

∴-4a=-3，

∴a=，

②以AC为底时，则AD=CD，

根据勾股定理得，AD=，

∴CD=2-（-4a）=3+4a=，

∴a=；

③以AD为底时，则AC=CD，

根据勾股定理得，AC=，

∴CD=3-（-4a）=2，

∴a=-＜0（舍）；

（4）由（1）知，A（-1，0），C（1，4a），AC=2，

∴直线AC的解析式为y=-2ax-2a，

设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l，

∴l⊥AC且过点A，

∴直线l解析式为y=x+，

∵抛物线y=-x2+x+，

∴3ax2+（2-6a）x+2-9a=0，

∴x1=1（舍），x2=，

∴直线l与抛物线的交点M（，），

∴AM=|6a-1|×，

∵AM=AC，

∴2=|6a-1|×，

∴6a2=|6a-1|

当6a-1≥0时，6a2=6a-1，

∴a=，

当6a-1＜0时，6a2=1-6a，

∴a=-3±（舍），

即：a1=，a2=．