Question

10．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，4），点A′（4，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，设点B的横坐标为m，试用m的式子表示出点B′的坐标，并求出m的值．

Answer 1

分析 先根据点A（1，4）在反比例函数的图象上求出反比例函数的解析式，再由点A′（4，b）也在此函数的图象上求出b的值，根据点B在直线y=x上可知B（m，m），设B′（x，y），由四边形AA′B′B是平行四边形可知线段AB′，A′B的中点相交于一点，故可用m表示出x，y的值，再代入反比例函数的解析式即可得出m的值．

解答 解：∵点A（1，4），点A′（4，b）与点B′均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∴b=$\frac{4}{4}$=1，
∴A′（4，1）．
∵点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，点B的横坐标为m，
∴B（m，m）．
设B′（x，y），
∴$\frac{x+1}{2}$=$\frac{m+4}{2}$，$\frac{4+y}{2}$=$\frac{m+1}{2}$，解得x=m+3，y=m-3，
∴B′（m+3，m-3）．
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴m-3=$\frac{4}{m+3}$，解得m=$\sqrt{13}$或m=-$\sqrt{13}$（舍去）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质等知识，难度适中．