Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB边上一点，点Q为BC边上一点，且∠BPQ=∠APC，过点A作AD⊥PC于点E，交于BC于点D，直线AD与PQ交于点F．
（1）在图1中找出与FQ相等的线段并加以证明；
（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F的对应点G刚好落在AB边上，连接PC分别交GQ、GD于点M、N，设MN=m，EN=n，求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据∠ACB=90°，AC=BC，可得∠BAC=∠ABC=45°；然后根据三角形的外角的性质，可得∠FDQ=∠FAB+∠ABC=∠FAB+45°；最后在△BPQ中，根据三角形的内角和定理，推得∠FQD=∠BQP=∠FAB+45°，即可推得∠FDQ=∠FQD，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）MN与EN的数量关系是：MN=3EN．首先判断出AH∥DG∥PQ，推得$\frac{BP}{PA}$=$\frac{BQ}{QH}$，再根据相似三角形判定的方法，判断出△APC∽△BPQ，推得$\frac{BP}{PA}$=$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$，进一步推得BQ=HC=CD；然后判断出AH∥PF，推得$\frac{DQ}{DH}=\frac{FD}{AD}=\frac{GQ}{AD}=\frac{BQ}{BD}$，进一步推得DQ=CD，BP=PG，再根据BI∥GQ，推得BI=GM；最后判断出AD∥BI，即可推得$\frac{DE}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，据此判断出MN=3EN即可．

解答 解：（1）FQ=FO，
理由：如图1，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
由三角形的外角的性质，可得
∠FDQ=∠FAB+∠ABC=∠FAB+45°，
∵AD⊥PC，
∴∠AEP=90°，
∴∠FAB+∠APC=90°，
∴∠APC=90°-∠FAB，
又∵∠BPQ=∠APC，
∴∠BPQ=90°-∠FAB，
∴∠FQD=∠BQP=180°-∠BPQ-∠ABC
=180°-（90°-∠FAB）-45°
=∠FAB+45°
∴∠FDQ=∠FQD，
∴FQ=FO；

（2）如图2，延长DC至H，使HC=CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，
∵HC=CD，AC⊥HD，
∴△ADH是等腰三角形，
∴AD=AH，
∴∠H=∠ADH=∠FDQ=∠FQD=∠BQP，
∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，
∴△GDQ≌△FDQ，
∴∠FDQ=∠GDQ，
又∵∠H=∠FDQ=∠BQP，
∴∠H=∠BQP=∠GDQ，
∴AH∥DG∥PQ，
∴$\frac{BP}{PA}$=$\frac{BQ}{QH}$，∠GQP=∠DGQ，
在△APC和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠BPQ}\\{∠CAP=∠QBP=45°}\end{array}\right.$，
∴△APC∽△BPQ，
∴$\frac{BP}{PA}$=$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$，
又∵$\frac{BP}{PA}$=$\frac{BQ}{QH}$，
∴$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BQ}{QH}$，
∴BC=QH，
∴BQ=HC，
又∵HC=CD，
∴BQ=HC=CD．
∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，
∴∠DFQ=∠DGQ，
又∵∠GQP=∠DGQ，
∴∠GQP=∠DFQ，
∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，
∴$\frac{MN}{EN}$=$\frac{GM}{DE}$，FD=GQ，
∵AH∥PF，
∴$\frac{DQ}{DH}=\frac{FD}{AD}=\frac{GQ}{AD}=\frac{BQ}{BD}$，
又∵DH=2CD，BQ=CD，
∴$\frac{DQ}{2CD}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{DQ}{2CD}$=$\frac{CD}{CD+DQ}$，
∴（DQ+2CD）（DQ-CD）=0，
解得DQ=CD，或DQ=-2CD（舍去），
∵$\frac{BP}{PG}$=$\frac{BQ}{DQ}$=1，
∴BP=PG，
∵BI∥GQ，
∴$\frac{BI}{GM}$=$\frac{BP}{PG}$=1，
∴BI=GM，
∵BI∥GQ，AD∥GQ，
∴AD∥BI，
∴$\frac{DE}{BI}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{GM}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{MN}{EN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{1}{3}$．

点评 此题还考查了平行线的性质和应用，三角形相似的判定和性质的应用，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．