分析 设AM为△ABC的中线,H、O分别是垂心和外心,连接HO,AH、OM,则OM⊥BC,AH⊥BC,利用三角函数得出OM=Rcos∠BAC,利用垂心及直角三角形可得∠ACB=∠AHD,利用三角函数及正弦定理可得AH=2Rcos∠BAC,进而得出AH=2OM,即点G为三角形的重心,得出三点O,G,H共线,再利用△AHG∽△MOG,即可得出OG=$\frac{1}{2}$GH.
解答 证明:如图所示,设AM为△ABC的中线,H、O分别是垂心和外心,连接HO,AH、OM,则OM⊥BC,AH⊥BC,
∴AH∥OM连接OB、OC,
∵O是△ABC的外心,
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=∠COM,
∴OM=OC•cos∠COM=Rcos∠BAC(R是△ABC外接圆半径),
连接BH并延长交AC于点D,
∵H是△ABC的垂心,
∴BD⊥AC
延长MO交AC于点N,
∵AH∥OM,
∴∠CAH=∠CNM,
∵∠ACB+∠CNM=90°,
∴∠ACB+∠CAH=90°,
∵∠AHD+∠CAH=90°,
∴∠ACB=∠AHD,
∴AH=$\frac{AD}{sin∠AHD}$=$\frac{ABcos∠BAC}{sin∠ACB}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$•cos∠BAC=2Rcos∠BAC,(注:正弦定理$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2R)
∴AH=2OM,
设OH和AM交於G,则△AHG∽△MOG,
∴AG:GM=AH:OM=2:1,
∴G是△ABC的重心,即O、M、G三点共线,
∵OG:GH=OM:AH=1:2,
∴OG=$\frac{1}{2}$GH.
点评 本题主要考查了三角形的五心,涉及三角形的外心,重心,垂心,相似三角形的判定及性质,圆周角与圆心角等知识,解题的关键是正确作出辅助线,得出∠ACB=∠AHD.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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