Question

18．在动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计，如图1，他在边长为a的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于点F，G，制成如图2的图标，则图中阴影部分图形AFEGD的面积为$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$a²．

Answer 1

分析 首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG，即可求得阴影图形的面积．

解答 解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，
∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=a，∠ECB=60°，∠ODC=45°，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S_正方形=AB²=a²，
设GN=x，
∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，
∴DN=NG=x，CN=$\sqrt{3}$NG=$\sqrt{3}$x，
∴x+$\sqrt{3}$x=a，
解得：x=$\frac{（\sqrt{3}-1）a}{2}$，
∴S_△CGD=$\frac{1}{2}$CD•GN=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$a²，
同理：S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$a²，
∴图形AFEGD的面积=S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG=a²-$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²-$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$a²=$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$a²．
故答案为：$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．