Question

把自然数1到2010分组，要求每组内任意3个数的最大公约数为1，则至少需要分成________组．

Answer 1

503
分析：每组内任意3个数的最大公因数为1，那么可以3，4，5，6个连续整数，但是5和6不符，从题意至少，则为4．
解答：从上可以得到：（1，2，3，4）；（5，6，7，8）；（9，10，11，12）即2010÷4=502…2即503组．
2010个数中，有1005个偶数，根据条件，显然要分组的话，每组最多只能有2个偶数，所以至少要分成1005÷2=502…1，所以要503组．下面就看503组是不是满足条件的最少组了．显然是的，我们这样来划分偶数组（2），（2×2，2×3）（2×4，2×5）（2×6，2×7）…（2×1004，2×1005），这样的503组中，它们除去约数2后，剩下的是互质的（因为相邻），所以，将剩余的1005个奇数也采用相邻奇数插入，即3放入（2）中，5、7放入（2×2，2×3）中，9、11放入（2×4，2×5）中…2007、2009放入（2×1004，2×1005）中，由于相邻奇数也是互质的，所以每组中任意三个数一定互质，即公约数是1，所以最小分为503组．
点评：该题的规律在于答案的尝试，着手点在于每组任意3个数的最大公因式为1，定为连续的四个整数．