【题目】△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证:△AEB≌△ADC;
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立;
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.
【答案】(1)①见解析,②四边形BCGE是平行四边形,见解析;(2)①②都成立;(3)当CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形,见解析.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,然后求出∠BAE=∠CAD,再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等;②四边形BCGE是平行四边形,因为△AEB≌△ADC,所以可得∠ABE=∠C=60°,进而证明∠ABE=∠BAC,则可得到EB∥GC又EG∥BC,所以四边形BCGE是平行四边形;
(2)根据(1)的思路解答即可.(3)当CD=CB时,四边形BCGE是菱形,由(1)可知△AEB≌△ADC,可得BE=CD,再证明BE=CB,即邻边相等的平行四边形是菱形.
证明:(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC(SAS).
②方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.
又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
方法二:证出△AEG≌△ADB,得EG=AB=BC.
∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.
理由:方法一:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD
又∵CD=CB,
∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形.
方法二:由①得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD.
又∵四边形BCGE是菱形,
∴BE=CB
∴CD=CB.
方法三:∵四边形BCGE是平行四边形,
∴BE∥CG,EG∥BC,
∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°,∴△BEF是等边三角形.
又∵AB=BC,四边形BCGE是菱形,
∴AB=BE=BF,
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°,
∵∠EAD=60°,
∴∠CAD=30°.
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【题目】已知y是x的一次函数,当x=1时,y=1;当x=-2时,y=-14.
(1)求这个一次函数的关系式;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图像;
(3)由图像观察,当0≤x≤2时,函数y的取值范围.
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【题目】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如下的三角形解释(a+b)n的展开式中各项的系数,此三角形称为“杨辉三角”,
即:(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
根据“杨辉三角”计算出(a+b)10的展开式中第三项的系数为( )
A.10B.45C.46D.50
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=9,点E在边AD上,AE=1,过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方,直线BO交AD于点F,作DG⊥BO,垂足为G.当△ABF与△DFG全等时,⊙O的半径为( )
A. B. C. D.
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【题目】小宇想测量位于池塘两端的A,B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A,B两点的距离.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交BC于点F.
(1)如图①,当AE⊥BC时,写出图中所有与∠B相等的角: ;所有与∠C相等的角: .
(2)若∠C-∠B=50°,∠BAD=x°(0<x≤45) .
① 求∠B的度数;
②是否存在这样的x的值,使得△DEF中有两个角相等.若存在,并求x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读材料:已知方程a22a1=0,12bb2=0且ab≠1,求的值.
解:由a22a1=0及12bb2=0,
可知a≠0,b≠0,
又∵ab≠1,.
12bb2=0可变形为
,
根据a22a1=0和的特征.
、是方程x22x1=0的两个不相等的实数根,
则,即.
根据阅读材料所提供的方法,完成下面的解答.
已知:3m27m2=0,2n2+7n3=0且mn≠1,求的值.
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