Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD=AC．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：压轴题

分析：（1）由条件可以证明△ABC≌△ADC，可以得出∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°，∠AEB=90°，求出∠ABC=90°，由勾股定理可以求出AC=4，AB=2

3

，由AM：CM=1：2可以求得AM、CM的值，在Rt△BEC中由勾股定理可以求出CE、BE的值，从而求出BM的值，过点C作CF⊥MB于F，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论．
（2）（1）要证BC+DC=AC，延长BC到E，使CE=CD，则求AC=BE即可．由AB=AD，∠ABD=60°，得△ABD是等边三角形，进而得∠ADB=60°，AD=BD，又有，∠BCD=120°，则△DCE是等边三角形，所以得△ACD≌△BDE，则AC=BE=BC+CD．

解答：解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=

1

2

BC=1，BE=

3

，AC=2BC=4．
∵AM：CM=1：2，
∴AM=

4

3

，CM=

8

3

，
∴EM=

5

3

，在Rt△BEM中由勾股定理得
BM=

( 3 )2+( 5 3 )2

  =

2 13

3

．
过点C作CF⊥BM于点F．
∴

BM．CF

2

=

CM．BE

2

．
∴

2 13 3 CF

2

=

8 3 × 3

2

，
∴CF=

4 39

13

．
即点C到BM的距离

4 39

13

．

（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，
∵AB=AD，∠ABD=60°，

∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．