Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC上的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕点P旋转到如图所示情形时，三角板的两边分别交BA的延长线于点E，交边AC于点F，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由．

Answer 1

分析：先根据已知条件证明△BPE∽△CFP，可得出

PE

PF

=

BE

PB

，然后即可证明△BPE∽△PFE．

解答：相似．
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BEP=∠EPC，∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠CPF．
∴△BPE∽△CFP．
∴

PC

PF

=

BE

PE

．
∵P为BC上的中点，
∴BP=PC，
∴

PB

PF

=

BE

PE

．
即

PE

PF

=

BE

PB

．
又∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定条件．