Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．

（1）当α=90时，

①依题意补全图形；

②求证：PD=2PB；

（2）写出一个α的值，使得PD=PB成立，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）当α=60°(或120°)时，PD=PB，证明见解析

【解析】

（1）当α=90°时，①依题意即可补全图形；
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB；
（2）当α的值为60（或120）度时，根据相似三角形的性质即可证明PD=PB成立．

（1）①如图

②∵AC＝AD，AB＝AC

∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB

又∵∠BAC＝30°，∠BAD＝90°

∴∠ABD＝∠ADB＝30°

∴AP＝BP

在Rt△APD中，∠ADB＝30°

∴PD＝2AP

∴PD＝2PB

（2）当α=60°(或120°)时，PD=PB

情况Ⅰ：当α=60°时，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠CAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD

情况Ⅱ：当α=120°时，过点D作DF⊥AC，交CA的延长线于点F， 过点B作BE⊥AC，垂足为点E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠FAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD