如图.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1.0).C.交y轴于点B.对称轴x=-1与x轴交于点D．(1)求该抛物线的解析式和B.C点的坐标,是第二象限内该抛物线上的一个动点.△PBD的面积为S.求S关于x的函数关系式.并写出自变量x的取值范围,(3)点G在x轴负半轴上.且∠GAB=∠GBA.求G的坐标,(4)若此抛物线上有一点Q.满足∠QCA=∠ABO?若存在.求直线QC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）、C，交y轴于点B，对称轴x=-1与x轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式和B、C点的坐标；
（2）设点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，△PBD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）点G在x轴负半轴上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐标；
（4）若此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO？若存在，求直线QC的解析式；若不存在，试说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，列出关于b、c的方程组

-1+b+c=0

-b

2×(-1)

=-1

，解方程组求出b、c的值，得到抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；再解方程-x²-2x+3=0，求出x的值，得到C点的坐标；将x=0代入y=-x²-2x+3，求出y的值，得到B点的坐标；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，根据S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE求出S关于x的函数关系式，再根据点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，得出自变量x的取值范围；
（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．根据等角对等边得出GB=GA，由此列出方程a²+3²=（1-a）²，解方程求出a的值，即可得到G点坐标；
（4）先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=

，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=

，再由直线斜率的意义可知直线QC的斜率|k|=

，则k=±

．由此可设直线QC的解析式为y=

x+n，或y=-

x+n，然后将C点坐标（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直线QC的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，
∴

-1+b+c=0

-b

2×(-1)

=-1

，
解得

b=-2

c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
当y=0时，-x²-2x+3=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
∴C点的坐标为（-3，0）；
当x=0时，y=3，
∴B点的坐标为（0，3）；

（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE
=

（y+3）（-x）-

×3×1-

×y×（-1-x）
=

．
将y=-x²-2x+3代入得，
S=

（-x²-2x+3）-

x²-x+

x²-

x，
∵点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，
∴-3＜x＜0，
∴S关于x的函数关系式为：S=-

x²-

x（-3＜x＜0）；

（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．
∵∠GAB=∠GBA，
∴GB=GA，
∴a²+3²=（1-a）²，

解得a=-4，
∴G点坐标为（-4，0）；

（4）此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO．
∵tan∠ABO=

，
∴tan∠QCA=

，
∴直线QC的斜率|k|=

，
∴k=±

．
设直线QC的解析式为y=

x+n，或y=-

x+n，
将C（-3，0）代入，得0=

×（-3）+n，或0=-

×（-3）+n，
解得n=1或-1．
故直线QC的解析式为y=

x+1，或y=-

x-1．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定，正切函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．

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