Question

已知：如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF．
（1）若tan∠FDC=

1

2

，AD=1，求DF的长；
（2）求证：DE=BE+CF．

Answer 1

分析：（1）首先根据tan∠FDC=

1

2

，则

FC

DC

=

1

2

，设FC=x，DC=2x，利用AB=BF即可得出FC，DC的长，进而利用勾股定理得出即可；
（2）利用角平分线的性质以及直角三角形的判定方法得出BE=NE，FC=DN，进而得出答案．

解答：（1）解：∵tan∠FDC=

1

2

，
∴

FC

DC

=

1

2

，设FC=x，DC=2x，
∵AB=BF，AD=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴FC=1，DC=2，
∴DF的长为：

FC2+DC2

=

12+22

=

5

；

（2）证明：过点F作FN⊥DE于点N，
∵∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，FN⊥DE，FB⊥AB，
∴FN=FB（角平分线上的点到角的两边距离相等），
在Rt△FEN和Rt△FEB中

FE=FE FN=FB

，
∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），
∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中

FD=DF FN=FB

，
∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），
∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质和锐角三角函数关系，作出FN⊥DE进而利用全等得出对应边相等是解题关键．