Question

（2013•南昌）已知抛物线y_n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（

9

，

9

）；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（

n²

，

n²

）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是

y=x

；
（3）探究下列结论：
①若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为点A₀（0，0）在抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，则y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由点A₁（2，0）在抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）①由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n；
②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，联立两式得一元二次方程，得到x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF²的表述式为：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，可见当k=1时，EF²=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．

解答：解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂经过点A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．

（2）抛物线y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y₃=-（x-a₃）²+a₃经过点A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的顶点坐标为（9，9）．
由y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），
依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．


（3）①∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．
y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
设直线y=kx-2k与抛物线y_n=-（x-n²）²+n²交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，
联立两式得：kx-2k=-（x-n²）²+n²，整理得：x²+（k-2n²）x+n⁴-n²-2k=0，
∴x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x₂-x₁，
FG=y₂-y₁=[-（x₂-n²）²+n²]-[-（x₁-n²）²+n²]=（x₁+x₂-2n²）（x₁-x₂）=k（x₂-x₁）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF²=EG²+FG²，
即：EF²=（x₂-x₁）²+[k（x₂-x₁）]²=（k²+1）（x₂-x₁）²=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]，
将x₁+x₂=2n²-k，x₁•x₂=n⁴-n²-2k代入，整理得：EF²=（k²+1）[4n²•（1-k）+k²+8k]，
当k=1时，EF²=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=3

2

为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．

点评：本题考查了二次函数综合题型，考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点．本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度．难点在于第（3）②问，需要灵活运用一元二次方程根与系数关系进行化简与计算．