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17.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线.

(1)如图1,∠C=2∠DBC,∠A=60°,求证:△ABC为等边三角形;
(2)如图2,若∠A=2∠C,BC=8,AB=4.8,求AD的长度;
(3)如图3,若∠ABC=2∠ACB,∠ACB的平分线OC与BD相交于点O,且OC=AB,求∠A的度数.

分析 (1)由BD为∠ABC的平分线,得到∠ABC=2∠DBC,等量代换得到∠ABC=∠C,证得AB=AC,即可得到结论;
(2)如图2,截取BE=AB,连接DE,推出△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质得到∠A=∠DEB,AD=ED,由∠A=2∠C,得到∠DEB=2∠C,求出∠C=∠EDB,得到ED=EC即可得到结论;
(3)过B作BF平分∠DBC交AC于F,根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC,∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,由∠ABC=2∠ACB,得到∠ACB=∠ABD=∠CBD,由角平分线的定义得到∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB,推出△OBC≌△FCB,根据全等三角形的性质得到OC=BF,由AB=OC,得到BF=AB等量代换得到∠ABF=∠AFB,求得AB=AF,即可得到结论.

解答 解:(1)∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABC=2∠DBC
∵∠C=2∠DBC,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC,
∵∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形;
(2)如图2,截取BE=AB,连接DE,

在△ABD与△EBD中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△EBD,
∴∠A=∠DEB,AD=ED,
∵∠A=2∠C,
∴∠DEB=2∠C,
∵∠DEB=∠C=∠EDB,
∴∠C+∠EDB=2∠C,
∴∠C=∠EDB,
∴ED=EC,
∵AB=4.8,
∴CE=BC-BE=3.2,
∴AD=DE=CE=3.2;
(3)如图3,过B作BF平分∠DBC交AC于F,

∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC,
即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,
∵∠ABC=2∠ACB,
∴∠ACB=∠ABD=∠CBD,
∵OC平分∠ACB,BF平分∠DBC,
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC,∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠1=∠2=∠3=∠4,
在△OBC与△FCB中,$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠ACB}\\{BC=CB}\\{∠2=∠1}\end{array}\right.$,
∴△OBC≌△FCB,
∴OC=BF,
∵AB=OC,
∴BF=AB,
∵∠ABF=∠ABD+∠3,∠AFB=∠ACB+∠1,
∵∠ABD=∠ACB,∠1=∠3,
∴∠ABF=∠AFB,
∴AB=AF,
∴AB=BF=AF,
∴△ABF为等边三角形,
∴∠A=60°.

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定还想着,角平分线的定义,三角形的外角的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

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“翱翔”小组的认识是否正确?请说明理由.
发现问题:解决完上述问题后,如图(3),老师将正方形BEFG在图1的基础上绕点B旋转角度α(0°<α<360°),让同学们写出有关△APE的正确结论.“兴趣”小组的同学们写出了两个正确结论:①△APE为等腰直角三角形;②△APE的面积存在最小值.
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②请你再写出一个有关△APE的正确结论:答案不唯一,如:在①的条件下,△APE的面积存在最大值,最大面积为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$.

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