Question

28、如图P为等边三角形内一点，且PA=5，PB=3，PC=4．若将△ABP转过一定角度至△CBP₁问：
①旋转角多少度？
②判断△PP₁B形状？试说明理由．
③求∠BPC的度数？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质，∠ABC等于旋转角，即可得到旋转角为60度；
（2）根据旋转的性质，得到BP₁=BP，∠P₁BP=60°，即可判断△PP₁C为等边三角形．
（3）由PA=5，PB=3，PC=4，根据旋转的性质得到P₁C=PA=5，P₁P=PB=3，则P₁P²+PC²=P₁C²，根据勾股定理的逆定理得∠P₁PC=90°，即可得到∠BPC的度数．

解答：解：（1）∵△CBP₁由△ABP旋转得到，
∴∠ABC等于旋转角，
而△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
即旋转角为60度；

（2）△PP₁B为等边三角形．理由如下：
∵△CBP₁由△ABP旋转得到，
∴BP₁=BP，∠P₁BP=60°，
∴△PP₁B为等边三角形；

（3）∠BPC=150°．理由如下：
∵PA=5，PB=3，PC=4．
∴P₁C=PA=5，P₁P=PB=3，
在△P₁PC中，P₁P²+PC²=P₁C²，
∴∠P₁PC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理的逆定理．