已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
【小题1】(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
【小题2】(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
【小题3】(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
【小题1】解:(1)∵ 直线y=kx-3过点A(4,0),
∴ 0 = 4k -3,解得k=。
∴ 直线的解析式为 y=x-3。 …………………………………1分
由直线y=x-3与y轴交于点C,可知C(0,-3) 。
∵ 抛物线经过点A(4,0)和点C,
∴ ,解得 m=。
∴ 抛物线解析式为……………2分
【小题2】(2)对于抛物线,
令y=0,则,解得x1=1,x2=4。
∴ B(1,0)。
∴ AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t。
① 若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC(如图1),
∴ △AP1Q1∽△AOC。
∴ , ∴。解得t= ; ………………4分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2=∠OAC,
∴ △AP2Q2∽△AOC。
∴ , ∴ 。解得t=; …………………6分
③ 若∠Q A P=90°,此种情况不存在。 ………………………5分
综上所述,当t的值为或时,△PQA是直角三角形
【小题3】(3)答:存在。
过点D作DF⊥x轴,垂足为E,交AC于点F(如图2)。
∴ S△ADF=DF·AE,S△CDF=DF·OE。
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF
=DF·AE +DF·OE
=DF×(AE+OE)
=×(DE+DF)×4
=×()×4
=。 ……………………………7分
∴ S△ACD=(0<x<4)。
又0<2<4且二次项系数,∴ 当x=2时,S△ACD的面积最大而当x=2时,y=。
∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )。 …………………8分
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
1.(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
2.(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
3.(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年北京市九年级上学期期中考试数学卷 题型:解答题
已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
1.(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
2.(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
3.(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大,若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由。
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