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7.如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)先确定出点C,D的坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式,
(2)根据题意设出点M的坐标,表示出点N坐标,以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形只要AC=MN,用它建立方程求出m即可.

解答 解:(1)∵过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C、D两点,
∴点C(1,3),D(3,1),
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点,
∴c=0,a+b=3,9a+3b=1.
∴a=-$\frac{4}{3}$,b=$\frac{13}{3}$,c=0,
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x2+$\frac{13}{3}$x,
(2)∵A(1,0),C(1.3),
∴AC=3,
∵AC⊥x轴,MN⊥x轴,
∴AC∥MN,
∵以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,
∴AC=MN,
∵点D坐标为(3,1),
∴直线OD解析式为y=$\frac{1}{3}$x,
∵点M为直线OD上的一个动点,
∴设M(m,$\frac{1}{3}$m),
∴N(m,-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{13}{3}$m),
∴MN=|-$\frac{4}{3}$m2+$\frac{13}{3}$m-$\frac{1}{3}$m|=$\frac{1}{3}$|4m2-12m|,
∵AC=MN,
∴$\frac{1}{3}$|4m2-12m|=3,
∴|4m2-12m|=9,
①当4m2-12m>0时,即m<0,或m>4,
∴4m2-12m=9,
∴m=$\frac{3±3\sqrt{2}}{2}$,
∴点M的横坐标为$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$,
②当4m2-12m<0时,即0<m<4,
∴4m2-12m=-9,
∴m=$\frac{3}{2}$,
即:存在符合条件的点M,求此时点M的横坐标为$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$或m=$\frac{3}{2}$.

点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求抛物线解析式,平行四边形的性质,绝对值方程,用待定系数法求抛物线解析式是解本题的关键.

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