【题目】如图,正方的边长为,点是边上一点,是的中点,过点作,且,连接,,过点作,分别交,于点,.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若,求的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)根据直角三角形斜边上中线的性质可得出AF=EF=DF=FG,从而得出点D,E,G三点在以DE为直径的圆上,从而得出∠EGD=90°,即可得出结论;
(2)根据正方形的性质以及余角的性质得出,,从而可得出结论;
(3)由(1)知点,,,在以为直径的圆上,可得出,进一步得出∠GDI=45°,由DG=AD=2,可求出DI,GI的长,再由(2)中的相似三角形可求得HE的长,最后可得出结果.
(1)证明:四边形是正方形,,
又点为中点,,
,,
点,,在以为直径的圆上,,即;
(2)证明:四边形是正方形,,
,,
由(1)知,,
,;
(3)解:,;
由(1)知点,,,在以为直径的圆上,
,
,,
在中,,
,
四边形是正方形,,
,,
,
由(2)知,
,
.
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【题目】已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D,点B在⊙O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求证:BC是⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,求证:四边形ABCD是菱形.
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【题目】如图,AD是△ABC的外接圆⊙O的直径,点P在BC延长线上,PA是⊙O的切线,且∠B=35°.
(1)求∠PAC的度数.
(2)弦CE⊥AD交AB于点F,若AFAB=12,求AC的长.
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【题目】如图,在中,,,为外一点,将绕点按顺时针方向旋转得到,且点、、三点在同一直线上.
(1)(观察猜想)
在图①中, ;在图②中, (用含的代数式表示)
(2)(类比探究)
如图③,若,请补全图形,再过点作于点,探究线段,,之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)(问题解决)
若,,,求点到的距离.
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【题目】如图,已知点,是一次函数图象与反比例函数图象的交点,且一次函数与轴交于点.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接,求的面积;
(3)在轴上有一点,使得,求出点的坐标.
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【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BE的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(2,3).
(1)tan∠OAB= ;
(2)在第一象限内画出△OA'B',使△OA'B'与△OAB关于点O位似,相似比为2:1;
(3)在(2)的条件下,S△OAB:S四边形AA′B′B= .
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【题目】一个盒中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球.
(Ⅰ)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果;
(Ⅱ)求两次取出的小球标号相同的概率;
(Ⅲ)求两次取出的小球标号的和大于6的概率.
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