Question

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）首先证得四边形ABCD是菱形，根据菱形的面积公式即可求解；
（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E，根据三角函数即可求得AE的长，从而求得△OAD的面积，四边形ABCD的面积是三角形OAD的面积的4倍，据此即可求解．

解答：解：（1）∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，（2分）
∴S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=40；（4分）

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO=

1

2

AC=5，BO=DO=

1

2

BD=4，（5分）
在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

AO

，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=

5 3

2

，（7分）
∴S_ABCD=

1

2

OD•AE×4=

1

2

×4×

5 3

2

×4=20

3

．（9分）

点评：本题主要考查了平行四边形性质，正确理解四边形ABCD的面积是△OAD的面积的4倍是解题的关键．