Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE相交于F．①

AD

=

CD

，②DE⊥AB，③AF=DF．
（1）写出“以①②③中的任意两个为条件，推出第三个（结论）”的一个正确命题，并加以证明；
（2）“以①②③中的任意两个为条件，推出笫三个（结论）”可以组成多少个正确的命题？（不必说明理由）

Answer 1

分析：本题中主要是用圆周角定理和等角的余角相等来求解，以①②为条件③为结论来举例，连接BD，AD，CD．那么根据圆周角定理我们可得出∠BDA=90°，∠ACD=∠DAC=∠CBD，根据要证AF=FD，那么就要证∠CAD=∠FDA，而∠FDA+∠BAD=90°=∠BAD+∠DBA，因此∠DBE=∠EDA，由于我们根据圆周角定理已经求得了∠DBA=∠CAD因此就可得出∠FDA=∠CAD，也就得出了AF=FD．其他的组合方法解题思路与这个都一样．

解答：解：（1）①②为条件，③为结论
证明：连接AD，CD，BD，CB．则∠BDA=90°
∵

CD

=

AD

，
∴∠DCA=∠DAC=∠DBA，
∵∠DBA+∠DAE=90°，∠FDA+∠DAE=90°
∴∠FDA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAF=∠FDA
∴AF=FD．

（2）①②为条件，③为结论．
①③为条件，②为结论．
②③为条件，①为结论．
共三组．

点评：本题主要考查了圆周角定理的应用，根据圆周角得出相关的角相等或互余是解题的关键．