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如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,且BF是⊙O的切线,BF交AC的延长线于F.
(1)求证:∠CBF=
1
2
∠CAB.
(2)若AB=5,sin∠CBF=
5
5
,求BC和BF的长.
考点:切线的性质
专题:
分析:(1)连接AE,由圆周角定理和等腰三角形的性质,结合切线的性质可证得∠CBF=∠BAE,可证得结论;
(2)由(1)结论结合正弦值,在Rt△ABE中可求得BE,可求出BC,过C作CM⊥BF,在Rt△BCM中可求得BM,CM,再利用平行线分线段成比例可求得BF.
解答:(1)证明:如图1,连结AE.

∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE=
1
2
∠BAC.
∵BF是⊙O的切线,
∴∠CBF=∠BAE,
∴∠CBF=
1
2
∠CAB.
(2)解:由(1)可知∠CBF=∠BAE,
∴sin∠BAE=sin∠CBF=
5
5

在Rt△ABE中,sin∠BAE=
BE
AB

BE
5
=
5
5

∴BE=
5

∴BC=2
5

如图2,过C作CM⊥BF于点M,

则sin∠CBF=
CM
BC
=
5
5

CM
2
5
=
5
5
,解得CM=2,由勾股定理可求得BM=4,
又∵AB∥CM,
CM
AB
=
BF-BM
BF

2
5
=
BF-4
BF
,解得BF=
20
3
点评:本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质、三角函数的定义等知识点,掌握弦切角定理及三角函数的定义是解题的关键,注意平行线分线段定理的应用.
练习册系列答案
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(1)可以补充条件
 

(2)请根据补充条件,说明∠ABF=∠ECD成立的理由.

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1
2
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(1)求证:CD⊥AB;
(2)连接BC交OD于点H(图2),求证:DH=
3
2
BC.

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某商品的进价为每件20元,售价为每件30元时,每个月可卖出280件且售价不低于进价,经过调查,得到如表数据:
销售单价x(元/件)3030.53131.532
每天销售量(件)280276272268264
(1)直接写出y与自变量的函数关系
 
;W(利润)=
 

(2)若定价不超过50元,要想获得最大的利润,试确定这种商品的销售单价,并求出最大利润W?
(3)若定价不超过42元,要想获得最大利润,试确定这种商品的销售单价?
(4)若定价不超过50元,且售价为整数,要想获得最大的利润,试确定这种商品的单价,并求出最大利润W?

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运用乘法公式计算:(a+b+c)(a-b-c)+(a+b+c)2

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已知
3
x
=
2
5
,则x的值是(  )
A、
10
3
B、
15
2
C、
3
10
D、
2
15

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