Question

14．如图，直线y=x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A（-1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（0，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 根据一次函数和反比例函数的解析式求出点A、B的坐标，然后作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，然后求出直线BC的解析式，求出点P的坐标．

解答 解：把点A坐标代入y=x+4得，
-1+4=a，
a=3，
即A（-1，3），
把点A坐标代入双曲线的解析式：3=-k，
解得：k=-3，
联立两函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
即点B坐标为：（-3，1），
作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，
则点C坐标为：（1，3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
把B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a+b=1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
则与y轴的交点为：（0，$\frac{5}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了待定系数法求解函数解析式、轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是把两个函数关系式联立成方程组求出交点．