Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）求AB的长；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理即可求出AB的长；
（2）由∠ACB=90°，得到AB为三角形ABC外切圆的直径，可得出半径OB的长，连接OP，由P为BC的中点，O为AB的中点，得到OP为三角形ABC的中位线，可得出OP等于AC的一半，求出OP的长，由Q的速度为2cm/s，时间是ts，表示出PQ的长，即为圆P的半径，而圆P只能在圆O内部，只可能内切，利用内切时圆心距等于两半径相减列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值．

解答：解（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=10cm；

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴OB=

1

2

AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC的中点，O为AB中点，即OP为中位线，
∴OP=

1

2

AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相切两圆的性质，以及三角形中位线定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．