Question

【题目】如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；

（3）若a＝，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣2；（2）y＝x2﹣2；（3）tan∠D1C1B恒为定值，，见解析

【解析】

（1）由待定系数法可求解析式；

（2）如图1，过点作于，通过证明，可得，由平行线分线段成比例可求，可得，，设，，则，，由勾股定理可求，可求点，点坐标，代入解析式可求的值，即可求抛物线的解析式；

（3）先求出点的坐标，如图2，过点作轴，过点作轴，可证，可得，如图3，过点作于点，由勾股定理和直角三角形的性质可求，，的长，即可求．

解：（1）∵抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，

∴点A（0，﹣2）

设直线AB解析式为y＝kx+b，

∴

解得

∴抛物线解析式为：y＝2x﹣2；

（2）如图1，过点B作BN⊥CD于N，

∵AC平分∠DCE，BN⊥CD，BE⊥CE，

∴BN＝BE，

∵∠BND＝∠CED＝90°，∠BDN＝∠CDE，

∴△BND∽△CED，

∴，

∴，

∵AO∥CE，

∴＝

∴CE＝2BE，CD＝2DB，

设BE＝x，BD＝y，则CE＝2x，CD＝2y，

∵CD2＝DE2+CE2，

∴4y2＝（x+y）2+4x2，

∴（x+y）（5x﹣3y）＝0，

∴y＝x，

∴点C（x+1，2x），点D（1﹣x，0）

∵点C，点D是抛物线W：y＝ax2﹣2上的点，

∴

∴x+1＝（1﹣x）2，

∴x1＝0（舍去），x2＝，

∴0＝a（1﹣）2﹣2，

∴a＝，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2；

（3）tan∠D1C1B恒为定值，

理由如下：由题意可得抛物线W1的解析式为：y＝x2﹣2﹣m，

设点D1的坐标为（t，0）（t＜0），

∴0＝t2﹣2﹣m，

∴2+m＝t2，

∴抛物线W1的解析式为：y＝x2﹣t2，

∵抛物线W1与射线BC的交点为C1，

∴

解得：，（不合题意舍去），

∴点C1的坐标（2﹣t，2﹣2t），

如图2，过点C1作C1H⊥x轴，过点C作CG⊥x轴，

∴C1H＝2﹣2t，OH＝2﹣t，

∴D1H＝D1O+OH＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，

∴C1H＝D1H，且C1H⊥x轴，

∴∠C1D1H＝45°，

∵y＝x2﹣2与x轴交于点D，

∴点D（﹣2，0）

∵y＝2x﹣2与y＝x2﹣2交于点C，点A

∴点C（4，6）

∴GC＝6，DG＝OD+OG＝2+4＝6，

∴DG＝CG，且CG⊥x轴，

∴∠GDC＝45°＝∠C1D1H，

∴C1D1∥CD，

∴∠D1C1B＝∠DCB，

∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，

如图3，过点B作BF⊥CD于点F，

∵∠CDB＝45°，BF⊥CD，BD＝OD+OB＝2+1＝3，

∴∠FDB＝∠FBD＝45°，

∴DF＝BF，DB＝DF＝3，

∴DF＝BF＝

∵点D（﹣2，0），点C（4，6），

∴CD＝＝6，

∴CF＝CD﹣DF＝，

∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB＝＝，

∴tan∠D1C1B恒为定值．