Question

16．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2过点B（1，0）．
（1）求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；
（2）以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P、Q两点的坐标；
（3）若点M在抛物线y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2的对称轴上，且∠AMC=45°，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据解析式即可求得C点的坐标，应用待定系数法，求得a，然后令y=0，解方程即可求得A的坐标．
（2）如图2中，依据三角形全等即可P、Q两点的坐标；
（3）如图2中，连接QC、PA交于点K，以K为圆心KC为半径画圆交对称轴于M（点M在AC上方），此时∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AKC=45°；如图3中，点K关于直线AC的对称点为K′，以K′为圆心KC为半径画圆交对称轴于M（点M在AC下方），此时∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AK′C=45°，分别利用两点之间的距离公式列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）把B（1，0）代入抛物线y=ax²-$\frac{4}{3}$x+2，
得a-$\frac{4}{3}$+2=0，
解得a=-$\frac{2}{3}$．
所以y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，
当x=0时，y=2，
所以抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2）．
当y=0时，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
所以抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（-3，0）；

（2）如图1中，过P点作PE⊥y轴于E，过点Q作QF⊥x轴于F．

∵四边形ACPQ是正方形，
∴AC=CP=AQ，∠QAC=∠ACP=90°，
∴∠ACO+∠PCE=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠PCE，
在△AOC与△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠PCE}\\{∠AOC=∠PEC}\\{AC=CP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△PCE（AAS），
∴PE=OC=2，CE=AO=3，
∴OE=OC+CE=5，
∴点P的坐标为（-2，5）．
同理△AOC≌△QFA，
∴QF=AO=3，AF=OC=2，
∴OF=AF+OA=5，
∴点Q的坐标为（-5，3）；

（3）如图2中，连接QC、PA交于点K，以K为圆心KC为半径画圆交对称轴于M（点M在AC上方），此时∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AKC=45°

设点M（-1，m），∵点K（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），KC=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴（-1+$\frac{5}{2}$）²+（m-$\frac{5}{2}$）²=$\frac{26}{4}$，
解得m=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$（舍弃），
∴点M坐标（-1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）．
如图3中，点K关于直线AC的对称点为K′，以K′为圆心KC为半径画圆交对称轴于M（点M在AC下方），此时∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AK′C=45°

∵点K′（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴（-1+$\frac{1}{2}$）²+（m+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{26}{4}$，
解得m=-3或2（舍弃），
∴点M坐标（-1，-3），
综上所述满足条件的点M坐标（-1，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式以及与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，以及动点问题、圆，动点问题的解决关键是找到特殊分界点，进行讨论是解决问题的关键，此题综合性较强，学会添加辅助线--圆是解决最后一个问题的关键，属于中考压轴题．