【题目】在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB=∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.
探究:当AB=AC且C,D两点重合时(如图1)探究:
(1)线段BE与FD之间的数量关系,直接写出结果 ;
(2)∠EBF= .
证明:当AB=AC且C,D不重合时,探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明.
计算:当AB=AC时,如图,求的值 (用含的式子表示).
【答案】(1)BE=FD;(2)22.5°,证明:BE=FD,见解析;计算:
【解析】
探究:(1)首先延长CA与BE交于点G,根据∠EDB=∠C,BE⊥DE,判断出BE=EG=BG;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△ABG≌△ACF,即可判断出BG=CF=FD,再根据BE=BG,可得BE=FD,据此判断即可;
(2)根据(1)的结论易求得答案;
证明:过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H,仿照(1)的方法判断出△DEB≌△DEG和△GBH≌△FDH,即可推出结论;
计算:利用(2)的结论证得△GBH∽△FDH和△BHD∽△BAC,利用对应边成比例即可求得结论.
探究:(1)如图①,延长CA与BE交于点G,
∵∠EDB=∠C,
∴∠EDB =∠EDG,
即CE是∠BCG的平分线,
又∵BE⊥DE,
∴BE=EG=BG,
∵∠BED=∠BAD=90°,∠BFE=∠CFA,
∴∠EBF=∠ACF,
即∠ABG=∠ACF,
在△ABG和△ACF中,
,
∴△ABG≌△ACF,
∴BG=CF=FD,
又∵BE=BG,
∴BE=FD;
(2)∵AB=AC,∠A=90°,
∴∠ACB=45,
由(1)得CE是∠BCG的平分线,且∠EBF=∠ACF,
∴∠EBF=∠ACB=;
证明:结论BE=FD.
证明如下:
如图②,过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H,
则∠GDB=∠C,∠BHD=∠A=90°=∠GHB.
∵∠EDB=∠C=∠GDB=∠EDG,
在△DEB和△DEG中,
,
∴△DEB≌△DEG,
∴BE=GE=GB.
∵∠A=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=∠GDB,
∴HB=HD.
∵∠BED=∠BHD=90°, ∠BFE=∠DFH,
∴∠EBF=∠HDF,
在△GBH和△FDH中,
,
∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,
∴BE=FD;
计算:∵△DEB≌△DEG,BE=GB,∠BHD=∠BEF=90°,∠EBF=∠HDF,
∴△GBH∽△FDH,
∴,即.
又∵DG∥CA,
∴△BHD∽△BAC,
∴,即.
∴.
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【题目】如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过三点,且.
(1)求的值;
(2)在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点,使得四边形是以为对角线的菱形?若存在,求出点的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在,请说明理由.
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【题目】某校要求八年级同学在课外活动中,必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练,为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况,现以八年级2班作为样本,对该班学生参加球类活动的情况进行统计,并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图:
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)该校八年级学生共有600人,则该年级参加足球活动的人数约 人;
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中,有3位男同学(A,B,C)和2位女同学(D,E),现准备从中选取两名同学组成双打组合,用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.
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【题目】小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米.当吊臂顶端由A点抬升至 A′点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B′处,紧绷着的吊绳A′B′=AB.AB垂直地面 O′B于点B,A′B′垂直地面O′B于点C,吊臂长度OA′=OA=10米,且cosA,sinA′.求此重物在水平方向移动的距离BC.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O为AB上一点,以O为圆心,AO为半径的圆经过点D.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)若BD=AD=,求阴影部分的面积.
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【题目】某校根据课程设置要求,开设了数学类拓展性课程,为了解学生最喜欢的课程内容,随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选中其中一项),并将统计结果绘制成如下统计图(不完整),请根据图中信息回答问题:
(1)求m,n的值.
(2)补全条形统计图.
(3)该校共有1200名学生,试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数.
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【题目】年新冠肺炎疫情发生以来,每天测体温成为一种制度,手持红外测温枪成为紧俏商品.某经销店承诺对所有商品明码标价,绝不哄抬物价.如下表所示是该店甲、乙两种手持红外测温枪的进价和售价:
商品 价格 | 甲 | 乙 |
进件(元个) | ||
售价(元个) |
该店有一批用元购进的甲、乙两种手持红外测温枪库存,预计全部销售后可获毛利润共元.[毛利润(售价进价)销售量]
(1)该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个?
(2)根据销售情况,该店计划增加甲种手持红外测温枪的购进量,减少乙种手持红外测温枪的购进量.已知甲种手持红外测温枪增加的数量是乙种手持红外测温枪减少的数量的倍,进货价不变,而且用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过元,则该店怎样进货,可使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与点B,C重合),过点C作CN⊥DM交AB于点N,连结OM、ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②ON=OM;③ON⊥OM;④若AB=2,则S△OMN的最小值是1;⑤AN2+CM2=MN2.其中正确结论是_____;(只填序号)
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