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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下精英家教网列问题:
(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线BB′翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;
(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.
分析:(1)根据四边形OABC是矩形,A(3,0),C(0,1)求出B′的坐标,设直线BB′的解析式为y=mx+n,利用待定系数法即可求出此直线的解析式,进而可得出M、N两点的坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式;
(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,由对称的性质可得出OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,再由勾股定理求出MN的长,由三角形的面积公式得出OE的长,利用两点间的距离公式求出x、y的值,把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可;
(3)由于抛物线移动的方向不能确定,故应分三种情况进行讨论.
解答:精英家教网解:(1)∵四边形OABC是矩形,
∴B(3,1),
根据题意,得B′(-1,3)
把B(3,1),B′(-1,3)代入y=mx+n中,
3m+n=1
-m+n=3

解得
m=-
1
2
n=
5
2

∴m=-
1
2
,n=
5
2

∴此一次函数的解析式为:y=-
1
2
x+
5
2

∴N(0,
5
2
),M(5,0)
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
把C′(-1,0),N(0,
5
2
),M(5,0)代入得:
a-b+c=0
c=
5
2
25a+5b+c=0

解得
a=-
1
2
b=2
c=
5
2

∴二次函数的解析式为y=-
1
2
x2+2x+
5
2


(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,
∵O、P关于直线MN对称,
∴OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,精英家教网
∵N(0,
5
2
),M(5,0),
∴MN=
ON2+OM2
=
(
5
2
)
2
+52
=
5
5
2
,OE=
ON×OM
MN
=
5
2
×5
5
5
2
=
5

∴OP=2OE=2
5

∴OP=
x2+y2
=2
5
①,
PM=
(5-x)2+y2
=5②,
①②联立,解得
x=2
y=4

把x=2代入二次函数的解析式y=-
1
2
x2+2x+
5
2
得,y=
9
2

∴点P不在此二次函数的图象上;

(3)①在上下方向上平移时,根据开口大小不变,对称轴不变,
所以,二次项系数和一次项系数不变,
根据它过原点,把(0,0)这个点代入得常数项为0,
新解析式就为:y=-
1
2
x2+2x;
②在左右方向平移时,开口大小不变,二次项系数不变,为-
1
2

这时根据已经求出的C′(-1,0),M(5,0),可知它与X轴的两个交点的距离还是为6,
所以有两种情况,向左移5个单位,此时M与原点重合,另一点经过(-6,0),
代入解出解析式为y=-
1
2
x2-3x;
③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合,此时另一点过(6,0),
所以解出解析式为y=-
1
2
x2+3x.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式,二次函数图象的几何变换等相关知识,在解③时要应用分类讨论的思想进行解答.
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(1)求点B的坐标;
(2)当∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
的解析式为(  )

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(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时,求直线CP的解析式;
(3)当△OCP是等腰三角形时,请写出点P的坐标(不要求过程,只需写出结果).

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