Question

6．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△CDE≌△BDM，再利用角的相等关系，边的相等关系证明△DMN≌△DEN，利用全等的对应边相等证题．

解答 证明：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，
∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，
又∵BM=CE，BD=CD，
∴△CDE≌△BDM，
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDE=∠EDN=60°}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，
故△AMN的周长为2．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质的综合运用．