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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=
    3
    2
    x-1经过这两个顶点中的一个．
    （1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；
    （2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．
    ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
    ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=
    3
    2
    x-1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．
    分析：（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=
    3
    2
    x-1与C点不过y=
    3
    2
    x-1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；
    （2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；
    ②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=
    3
    2
    x-1下方．
    解答：精英家教网解：（1）如图，建立平面直角坐标系，
    ∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，
    设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；
    若C点过y=
    3
    2
    x-1；则2=
    3
    2
    （m+3）-1，
    m=-1与m＞0不合；
    ∴C点不过y=
    3
    2
    x-1；
    若点D过y=
    3
    2
    x-1，则2=
    3
    2
    m-1，m=2，
    ∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；

    （2）①∵⊙M以AB为直径，
    ∴M（
    7
    2
    ，0），
    由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，
    ∴
    0=4a+2b+c
    0=25a+5b+c
    ，
    ∴
    b=-7a
    c=10a
    ，
    ∴y=ax2-7ax+10a
    （也可得：y=a（x-2）（x-5）=a（x2-7x+10）=ax2-7ax+10a）
    ∴y=a（x-
    7
    2
    ）2-
    9
    4
    a；
    ∴抛物线顶点P（
    7
    2
    ，-
    9
    4
    a）
    ∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，
    ∴
    3
    2
    ＜-
    9
    4
    a＜2，
    ∴-
    8
    9
    ＜a＜-
    2
    3
    ．
    ②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；
    ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，
    ∴AF=QF，CQ=BC=2，
    ∴CF=n+2，DF=2-n；在Rt△DCF中，
    ∵DF2+DC2=CF2；
    ∴32+（2-n）2=（n+2）2，
    ∴n=
    9
    8
    ，
    ∴F（2，
    9
    8
    ）
    ∴当PF∥AB时，P点纵坐标为
    9
    8
    ；
    ∴-
    9
    4
    a=
    9
    8
    ，
    ∴a=-
    1
    2
    ；
    ∴抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2+
    7
    2
    x-5，
    抛物线与y轴的交点为Q（0，-5），
    又直线y=
    3
    2
    x-1与y轴交点（0，-1）；
    ∴Q在直线y=
    3
    2
    x-1下方．
    点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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    （1）利用图中的向量表示：
    BC
    +
    CD
    =
     
    ；
    （2）利用图中的向量表示：
    AO
    -
    AD
    =
     
    ；
    （3）如果|
    AB
    |=5    ，|
    BC
    |=12    ，则|
    BO
    |    =
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，点E在BC上且∠BAE=30°，延长BC到点F使CF=BE，连接DF．
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    （2）求DF的长度；
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    精英家教网已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
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    （2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
    （3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求
    MNDN
    的值．

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    ②若矩形ABCD从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．
    ③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点，如图（3），设移动总时间为t（1＜t＜5），分别写出△PBC的面积S1、△QDC的面积S2与t的函数关系式，并求当t为何值时，S2=
    107
    S1？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．

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