Question

9．如图，在矩形ABCD中，$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，AC为对角线，BM⊥AC于点M，交AD于点N，点O是BC边上一点，$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，连接DO交AC于点P，OF⊥OD交BN于点E，交AB边于点F．
（1）求证：△OPC∽△FEB；
（2）求$\frac{BF}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据已知条件得出∠COP=∠BFE，∠PCO=∠FBE，再根据两角对应相等的两个三角形相似判定△OPC∽△FEB；
（2）先判定△DPC∽△OEB，再结合△OPC∽△FEB，根据相似三角形对应边成比例，推导出$\frac{OB}{CD}$=$\frac{BF}{OC}$，最后求得$\frac{OB}{CD}$的值，即可得到$\frac{BF}{OC}$的值．本题也可以根据△OBF∽△DCO，得出$\frac{BF}{OC}$的值．

解答 解：（1）∵OF⊥OD，∠ABC=90°，
∴∠COP+∠FOB=90°，∠BFE+∠FOB=90°，
∴∠COP=∠BFE，
∵BM⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠PCO+∠CBM=90°，∠FBE+∠CBM=90°，
∴∠PCO=∠FBE，
∴△OPC∽△FEB；

（2）解法1：∵∠COP+∠CDO=∠COP+∠BOE=90°，
∴∠CDO=∠BOE，
∵∠PCO+∠PCD=∠PCO+∠EBO=90°，
∴∠PCD=∠EBO，
∴△DPC∽△OEB，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{OB}{CD}$，
∵△OPC∽△FEB，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{BF}{OC}$，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{BF}{OC}$①．
∵$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴OB=$\frac{2}{3}$BC，
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{3}{5}$BC=CD，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{10}{9}$②．
由①②可得：$\frac{BF}{OC}$的值为$\frac{10}{9}$．

解法2：∵矩形ABCD中，∠DCO=∠OBF=90°，
而∠DOF=90°，
∴∠BOF+∠COD=∠CDO+∠COD=90°，
∴∠BOF=∠CDO，
∴△BOF∽△CDO，
∴$\frac{BF}{OC}$=$\frac{OB}{DC}$，
又∵$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴AB=$\frac{3}{5}$BC，OB=$\frac{2}{3}$BC，
而CD=AB，
∴CD=$\frac{3}{5}$BC，
∴$\frac{BF}{OC}$=$\frac{OB}{DC}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{10}{9}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应充分发挥基本图形的作用，依据基本图形对图形进行分解、组合；有时还需作辅助线构造相似三角形．