Question

如图，已知点A（2，0）、B（﹣1，1），点P是直线y=﹣x+4上任意一点．

（1）当点P在什么位置时，△PAB的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值；

（2）在（1）的条件下，求出△PAB的面积．

　

Answer 1

解：（1）作出点A关于直线y=﹣x+4的对称点C，连结BC交直线于点P，

∴PA=PC，AD=CD，

则PB+PA=PB+PC=BC，

由直线y=﹣x+4得与x轴上的交点D为（4，0）、与y轴的交点为E为（0，4），

∴OD=OE=4，则∠ODE=45°，则∠ADC=90°，

∴AD=CD=2，

∴点C的坐标是（4，2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，

解得：k=，b=，

即直线BC的解析式为：y=x+．

由方程组得：，

即P的坐标是（，），

由勾股定理得BC=、AB=，

∴△PAB的周长是．

（2）由直线BC的解析式y=x+得：点F的坐标是（﹣6，0），

∴S_△PAB=S_△PAF﹣S_△BAF=×AE×（﹣1）=．