【题目】如图①,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D的坐标为(1,0),点P为第一象限内抛物线上的一点,求四边形BDCP面积的最大值;
(3)如图②,动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,到达点B时停止运动,且不与点O、B重合.设运动时间为t秒,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q,连接OQ,是否存在t值,使得△BOQ为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)S四边形BDCP最大值为;(3)存在,或
【解析】
(1)把A,B两点坐标代入解析式,求出b,c的值即可;
(2)设,过点P作PE⊥x轴于点E,则,再由S四边形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP,求出最大值即可;
(3)分三种情况讨论,①当OQ=BQ时,②当BO=BQ时,③当OQ=OB时,分别求出t即可.
解:(1)∵点A(-1,0)、B(3,0),
∴,
解得: ,
∴;
(2)∵点P为第一象限内抛物线上的一点,
设,过点P作PE⊥x轴于点E,
抛物线与y轴的交点,令x=0,得y=3,
∴,
∴OC=3,
∵D(1,0),
∴OD=1,
∵,
∴S四边形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP
,
∴当时,S四边形BDCP最大值为;
(3)∵M(2t,0),MN⊥x轴,
∴Q(2t,3-2t),
∵△BOQ为等边三角形,
∴分三种情况讨论,
①当OQ=BQ时,
∵QM⊥OB,
∴OM=MB,
∴2t=3-2t,
∴;
②当BO=BQ时,
在Rt△BMQ中,∠OBQ=45°,
∴,
∴,即,
∴;
③当OQ=OB时,
则Q、C重合,此时t=0,
由题知,t>0,
∴不存在,
综上,或时,△BOQ为等腰三角形.
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【题目】如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象与AB相交于点D.与BC相交于点E,且BD=3,AD=6,△ODE的面积为15,若动点P在x轴上,则PD+PE的最小值是_____.
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【题目】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10…)和“正方形数”(如1,4,9,16…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为( )
A. 33 B. 301 C. 386 D. 571
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【题目】知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大的方便了人们的出行.中国北斗导航已经全球组网,它已经走进了人们的日常生活.如图,某校组织学生到某地(用A表示)开展社会实践活动,车到达B地后,发现A地恰好在B地的正北方向,且距离B地10千米.导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至C地,再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达A地.求A、C两地间的距离.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)请用尺规作图法,作∠ACB的平分线CD,交AB于点D;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,过点D分别作 DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形CEDF是正方形.
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【题目】距离中考体考时间越来越近,年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况,在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生,对他们周末在家的锻炼时间进行了调查,并收集得到了以下数据(单位:分钟)
男生:28,30,32,46,68,39,80,70,66,57,70,95,100,58,69,88,99,105
女生:36,48,78,99,56,62,35,109,29,88,88,69,73,55,90,98,69,72
统计数据,并制作了如下统计表:
时间 | ||||
男生 | 2 | 4 | ||
女生 | 1 | 5 | 9 | 3 |
分析数据:两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
极差 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 | |
男生 | 77 | 66.7 | 70 | 617.3 | |
女生 | 69.7 | 70.5 | 547.2 |
(1)请将上面的表格补充完整: , , , , ;
(2)已知该年级男女生人数差不多,根据调查的数据,估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上(不包含90分钟)的同学约有多少人?
(3)体育老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好,请你结合统计数据,写出两条支持体育老师观点的理由.
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【题目】甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?
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【题目】美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市城区近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树,修建公园等措施,使城区绿地面积不断增加(如图所示)
(1)根据图中所提供的信息,回答下列问题:2001年底的绿地面积为 公顷,比2000年底增加了 公顷;在1999年,2000年,2001年这三年中,绿地面积增加最多的是 年;
(2)为满足城市发展的需要,计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求今明两年绿地面积的年平均增长率.
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