Question

如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

Answer 1

解：∵设运动时间为t秒，
∴AP=t（cm），PD=AD-AP=24-t（cm），CQ=3t（cm），BQ=BC-CQ=26-3t（cm），
（1）如图1：∵AD∥BC，
∴当PA=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABQP是矩形，
即t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴t=6.5s时，四边形ABQP是矩形，

（2）∵AD∥BC，
∴当QC=PD时，四边形PQCD是平行四边形．
此时有3t=24-t，
解得t=6．
∴当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形．

（3）当四边形PQCD为等腰梯形时，如图所示：

在Rt△PQF和Rt△CDE中，
∵PQ=DC，PF=DE，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4
解得：t=7（s）
即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．
分析：（1）四边形PQCD为矩形，即AP=BQ，列出等式，求解即可；
（2）四边形PQCD为平行四边形，即CQ=PD，列出等式求解；
（3）四边形PQCD为等腰梯形，即CD=PQ，过点P作PF⊥BC于F，根据勾股定理列出等式即可得出．
点评：此题主要考查了矩形、平行四边形、等腰梯形的判定与性质应用，要求学生掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想．