Question

如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE=CF，AE与BF交于点G．
（1）求∠AGB的度数；
（2）连接DG，求证：DG=AG+BG．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根据三角形全等的判定方法可证得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性质得∠BGE=∠ABG+∠BAE，则∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，然后利用邻补角的定义可计算出∠AGB的度数；
（2）延长GE至点H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≌△ABH（SAS），则DG=AH，即可得到DG=AG+BG．

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠C BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGB=180°-∠BGE=120°；

（2）证明：延长GE至点H，使GH=GB，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，

DB=AB ∠DBG=∠ABH BG=BH

，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．