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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）求直线BC的函数表达式；
    （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
    ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；
    ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
    温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

    【答案】分析：已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
    解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
    ∴
    ∴b=-2
    ∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
    ∴c=-3，
    ∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

    （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
    当y=0时，x2-2x-3=0．
    ∴x1=-1，x2=3．
    ∵A点在B点左侧，
    ∴A（-1，0），B（3，0）
    设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
    则，
    ∴
    ∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

    （3）①∵AB=4，PQ=AB，
    ∴PQ=3
    ∵PQ⊥y轴
    ∴PQ∥x轴，
    则由抛物线的对称性可得PM=，
    ∵对称轴是直线x=1，
    ∴P到y轴的距离是，
    ∴点P的横坐标为，
    ∴P（，）
    ∴F（0，），
    ∴FC=3-OF=3-=
    ∵PQ垂直平分CE于点F，
    ∴CE=2FC=
    ∵点D在直线BC上，
    ∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
    过点D作DG⊥CE于点G，
    ∴DG=1，CG=1，
    ∴GE=CE-CG=-1=．
    在Rt△EGD中，tan∠CED=．
    ②P1（1-，-2），P2（1-，-）．
    设OE=a，则GE=2-a，
    当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
    ∴1=1×（2-a），
    ∴a=1，
    ∴CE=2，
    ∴OF=OE+EF=2
    ∴F、P的纵坐标为-2，
    把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+或1-
    ∵点P在第三象限．
    ∴P1（1-，-2），
    当CD为斜边时，DE⊥CE，
    ∴OE=2，CE=1，
    ∴OF=2.5，
    ∴P和F的纵坐标为：-，
    把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，
    ∵点P在第三象限．
    ∴P2（1-，-）．
    综上所述：满足条件为P1（1-，-2），P2（1-，-）．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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