Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线对称轴上一个动点，求当PA+PC的值最小时P点坐标．

Answer 1

分析：（1）由BO=CO及点C的坐标为（0，-3），就可以求出B的坐标，再把B、C的坐标代入解析式就可以求出二次函数的解析式；
（2）当y=0时求出x的值，就可以求出A点的坐标，从而求出AB的长，OC是高就可以求出三角形ABC的面积．
（3）根据轴对称的性质及抛物线的图象特征可以得出A点关于抛物线对称轴的对称点是B点．连接BC与对称轴的交点就是P点，求出BC的解析式，把对称轴的横坐标代入直线的解析式就可以求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=CO，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴

-3=c 0=9+3b+c

，
解得：

b=-2 c=-3

，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵二次函数的解析式为：y=x²-2x-3，
∴当y=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
S_△ABC=

4×3

2

=6；

（3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于点P，则点P是所求的点，
∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴对称轴为：x=1，
∴P点的横坐标为1，设直线BC的解析式为：y=kx+b，则

-3=b 0=3k+b

，
解得；

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
∴x=1，时，y=-2，
∴P（1，-2）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，轴对称，最短路线问题．