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精英家教网已知:如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)求证:BC=CD.
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:BC边和邻边CD的长度是否一定相等?请证明你的结论.
(3)探究:在(2)的情况下,如果再限制∠BAD=60°,那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系?需说明理由.
分析:(1)由AC平分∠BAD与∠B和∠D都是直角,以及AC是公共边,根据AAS即可证得△ABC≌△ADC,则可得BC=CD;
(2)首先不妨设∠B为锐角,作CE⊥AB于E,则点E必在线段AB上,由∠B和∠D互为补角,可得∠D是钝角,作CF⊥AD于F,则点F必在线段AD的延长线上,则可得∠D=∠CBF,又由AC是∠BAD的平分线,与CE=CF,即可证得Rt△BCF≌Rt△DCE,则可得BC=CD;
(3)在图2中,由已知条件,易知AE=AF,BE=DF,则可得AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+AF=2AE,则可证得AB+AD=2AE=
3
AC.
解答:(1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC与△ADC中,
∠D=∠B=90°
∠BAC=∠DAC
AC=AC

∴△ABC≌△ADC.
∴BC=CD.

(2)解:一定相等.
证明:如图2,不妨设∠B为锐角,作CF⊥AB于F,则点F必在线段AB上,精英家教网
∵∠B和∠D互为补角,
∴∠D是钝角,作CE⊥AD于E,
则点F必在线段AB的延长线上.
∴∠CBF与∠ABC互补.
∴∠D=∠CBF.
又∵AC是∠BAD的平分线,
∴CE=CF.
在Rt△BCF与Rt△DCE中,
∠D=∠CBF
∠DEC=∠CFB
CE=CF

∴Rt△BCF≌Rt△DCE,
∴BC=CD.

(3)解:AB+AD=
3
AC.
理由是:图2中,由已知条件,易知AE=AF,DE=BF.
∴AB+AD=(AE+DE)+(AF-BF)=AE+AF=2AE.
当∠BAD=60°时,∠CAE=30°,AE=
3
2
AC.
∴AB+AD=2AE=
3
AC.
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
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