Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA、AB移动到B，则点P出发（　　）时，可使S_△BCP=$\frac{1}{4}$S_△ABC．

• A． 1s
• B． $\frac{31}{4}$s
• C． 1s或$\frac{31}{4}$s
• D． 2s

Answer 1

分析 首先求出△ABC的面积，即可确定△BCP的面积，根据情况进行讨论，第一种情况：P点在AC上，那么y=BC•x•$\frac{1}{2}$，即y=6x；第二种情况：P点在AB上，那么根据勾股定理求出AB=10，然后作出BP的高，通过求证三角形相似，求出高的值，即可得y=-$\frac{24}{5}$x+$\frac{9×24}{5}$=6，然后列方程即可求得结论．

解答 解：设点P出发x秒时，△BCP的面积为ycm²，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴△ABC的面积=24cm²，
∴△BCP的面积为：24×$\frac{1}{4}$=6，
①P点在AC上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∴y=BC•2x•$\frac{1}{2}$，即y=6x=6；
∴x=1，
②P点在AB上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10，
∴BP=10-2x，
作CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=AB：BC，
∴CD=$\frac{24}{5}$，
∵△BCP的面积为ycm²，
∴y=（18-2x）•$\frac{24}{5}$$•\frac{1}{2}$=6，
解得x=$\frac{31}{4}$，
综上所述：当点P出发1秒或$\frac{31}{4}$秒时，可使S_△BCP=$\frac{1}{4}$S_△ABC．
故选C．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于分情况进行讨论，求出y关于x的解析式．