已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C、D两点的坐标分别为(8,0)、(0,6).现有两动点P、Q分别从A、C同时出发,点P沿折线ADC向终点C运动, 点Q沿线段CA向终点A运动,当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也立即停止运动,设运动时间为t秒.
(1)填空:菱形ABCD的边长是 ,面积是 ;
(2)探究下列问题:
①若点P的速度为每秒2.5个单位,点Q的速度为每秒3个单位,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;
②在运动过程中,能否使得△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)10,24;(2)①S最大=16;②或.
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理可求得菱形ABCD的边长是10,用菱形的面积公式即可求出面积;
(2)①分情况讨论P点的位置,借助三角形相似进行计算;
②分别讨论当∠APQ=90°时,当∠AQP=90°时,t的取值即可.
试题解析:(1)10,24;
(2)①当P点在AD上时(0<t<4)
由题意,得AP=2.5t,AQ=16-3t.
如图1,过点P作PG⊥AC,垂足为G,则 △APG∽△ADO,
∴,
∴PG=,
∴.
当P点在CD上时,Q先到终点,故
AD+DP=2.5t,CQ==3t,则AQ=16-3t,CP=20-2.5t,
过点P作PG⊥AC,垂足为G,则 △PCH∽△DCO,
∴,
∴PH=12-,
∴.
当0<t<4时,,
当4≤t<时,对称轴为t= ,
根据二次函数的增减性t=4,S最大=12,
综上可知:S最大=16 ;
②∵△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形,
∴△APQ为直角三角形.
当∠APQ=90°时,
AP=2.5t,CQ=3t,则AQ=16-3t.
∵∠APQ=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴
∴
当∠AQP=90°时,
AP=2.5t,CQ=3t,则AQ=16-3t.
∵∠AQP=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴
∴
∴当或时,△APQ绕它的一边中点旋转180°,旋转前后两个三角形组成的四边形为矩形.
考点:1.三角形相似,2.旋转问题.
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(本题满分12分)
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
1.(1)填空:菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ;
2.(2)探究下列问题:
若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时
② △APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
3.(3)在运动过程中是否存在某一时刻使得△APQ为等腰三角形,若存在求出t的值;若不存在说明理由.
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科目:初中数学 来源:2011-2012年江苏省扬州市九年级第一学期期末考试数学卷 题型:解答题
(本题满分12分)
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
1.(1)填空:菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ;
2.(2)探究下列问题:
若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时
② △APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
3.(3)在运动过程中是否存在某一时刻使得△APQ为等腰三角形,若存在求出t的值;若不存在说明理由.
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年常州市中考模拟考试数学卷 题型:解答题
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
1.填空:菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ;
2.探究下列问题:
①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t = 4 秒时的情形,并求出k的值.
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科目:初中数学 来源:2010-2011年江苏省九年级第二学期模拟考试数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
1.(1)填空:菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是
▲ 、 高BE的长是 ▲ ;
2.(2)探究下列问题:
①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t = 4 秒时的情形,并求出k的值.
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