Question

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，其中第n个图中用去了

n(n+1)

2

个石子；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，其中第m个图中用去了m²个石子．
请问：下列哪些数既是三角形数又是正方形数

 

．
289  1024  1225    1378．

Answer 1

分析：根据图1中第n个图中用去了

n(n+1)

2

个石子，图2中第m个图中用去了m²个石子，然后把下列数分别代入，若解出的n和m都是正整数，则说明符合条件就是所求．

解答：解：289虽然是平方数，但令

n(n+1)

2

=289，解得的n值显然不是整数，不符合条件；
1024是平方数，但令

n(n+1)

2

=1024，解得的n值显然不是整数，不符合条件；
令

n(n+1)

2

=1225，解得n₁=49，n₂=-50（不合题意，舍去）；再令m²=1225，m₁=35，m₂=-35（不合题意，舍去），故1225即是三角形数又是正方形数．
显然1378不是平方数，不符合条件．
故答案为：1225．

点评：主要考查了规律型中的图形变化问题，本题是规律已经给出，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论．