Question

20．如图，抛物线与x轴交于点A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，8），以AB为直径作⊙M，BF是⊙M的切线，过抛物线上一点P（点P在x轴下方）作⊙M的切线PD，切点为D（点D在x轴下方），PD与BF相交于点E，DN是⊙M的直径，连接BN、BD．
（1）求抛物的表达式；
（2）若四边形EBMD的面积为15，求点E的坐标；
（3）是否存在点P，使得四边形EBMD的面积等于△DBN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出⊙M的半径为BM=3，然后用四边形EBMD的面积为15，即三角形BME的面积是15，建立方程求出BE，从而求出点E的坐标；
（3）先由四边形EBMD的面积等于△DBN的面积判断出DG=BE，即切线PD∥y轴，即直线PD解析式为y=-3，代入抛物线解析式中求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-4，0）、B（2，0）两点，
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴-8a=8，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+4）（x-2）=-x²-2x+8，
（2）∵AB为直径作⊙M，
∴M（-1，0），
∵B（2，0），
∴MB=MA=3，
∵BF是⊙M的切线，
∴∠MBF=90°，
∵DP是⊙M的切线，
∴∠MDE=90°，MD=MB=3，DE=BE，
设E（2，b），则BE=|a|
∵四边形EBMD的面积为15，
∴S_{四边形EBMD}=S_△DME+S_△BME=$\frac{1}{2}$DE×MD+$\frac{1}{2}$BE×MB=$\frac{1}{2}$BE×MB+$\frac{1}{2}$BE×MB=BE×MB=3|a|=15，
∴a=±5，
∵点D在x轴下方
∴a=-5，∴E（2，-5），
（3）存在，
理由：如图，作DG⊥x轴，

∵DM是⊙M的直径，
∴S_△DMB=S_△NMB，
∴S_△DBN=2S_△DMB
由（2）得，S_{四边形EBMD}=2S_△BME，
∵四边形EBMD的面积等于△DBN的面积，
∴S_△DMB=S_△BME，
∴$\frac{1}{2}$ BM×DG=$\frac{1}{2}$BM×BE，
∴DG=BE，
∵PD与⊙M相切，
∴点D与点E在x轴下方，
∴切线PD与x轴平行，
∴直线PD解析式为：y=-3，
由（1）有，抛物线解析式为y=-x²-2x+8，
∴-3=-x²-2x+8
∴x=-1±2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标（-1+$\sqrt{3}$，-3）或（-1-$\sqrt{3}$，-3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，切线的性质，三角形的面积，圆的性质，解本题的关键是建立3|a|=15的方法，难点是判断DG=BE．