Question

如图，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上移动，过点O、A、C作矩形OABC，OA=a，OC=c，在移动过程中，双曲线y=

k

x

（k＞0）的图象始终经过BC的中点E，交AB于点D．连接OE，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE，记双曲线与四边形OMNE除点E外的另一个交点为F．若∠EOA=30°，k=

3

，则直线DF的解析式为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=

3

，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．

解答：解：过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，
∵∠EOA=30°，k=

3

，
∴

EH

OH

=

3

3

，
∴OH=

3

EH，
∵S_△EOH=

1

2

OH•EH=

1

2

k=

3

2

，
∴EH=1，OH=

3

，
∵E是BC的中点，
∴OA=2OH=2

3

，
∴点D的横坐标为2

3

，
则y=

3

2 3

=

1

2

，
∴点D（2

3

，

1

2

），
由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG：OG=

3

，
∵S_△FOG=

1

2

OG•FG=

1

2

k=

3

2

，
∴OG=1，FG=

3

，
∴点F（1，

3

），
设直线DF的解析式为：y=ax+b，
∴

2 3 a+b= 1 2 a+b= 3

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 + 1 2

，
∴直线DF的解析式为：y=-

1

2

x+

3

+

1

2

．
故答案为：y=-

1

2

x+

3

+

1

2

．

点评：此题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、反比例函数k的几何意义以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．