Question

（2012•栖霞市二模）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则①DC′平分∠BDE；②BC长为（

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+2）a；③△B C′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．则上述命题中正确是

②③④

（填序号）；

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=

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BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，根据折叠的性质得∠DBE=

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∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=

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a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，则∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可计算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判断DC′不平分∠BDE；易得AC=AD+DC=a+

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a，利用BC=

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AC可得到BC长为（

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+2）a；由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；计算△CED的周长为DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，则有△CED的周长等于BC的长．

解答：解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=

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BC，∠ABC=∠C=45°，
∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，
∴∠DBE=

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2

∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，DC=

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a，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，
∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，
∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；
∵AC=AD+DC=a+

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a，
∴BC=

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AC=

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（a+

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a）=（

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+2）a，所以②正确；
∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，
∴△B C′D是等腰三角形，所以③正确；
∵△CED的周长=DE+EC+DC=a+a+

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a=（

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+2）a，
∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确．
故答案为②③④．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．