Question

4．在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C的坐标为（a，b）．
（1）当点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，4）时，求C点的坐标．
（2）若抛物线y=ax²+bx如图所示，请求出点A、B的坐标（用字母a、b表示），并在所给图中标出点A，点B的位置．
（3）在（2）的图中，设抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，直线y=ax+b交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），且DE∥FC，若$\frac{2}{3}$＜tan∠ODE＜2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B求出直线解析式，得到a、b值，即可写出点C坐标；
（2）联立直线与抛物线解析式，即可求出点A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0），根据图象描出两点即可；
（3）根据已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），由CEDF平行四边形性质可以得出b关于a的函数关系式，利用已知$\frac{3}{2}$＜tan∠ODE＜2求出a的取值范围，进而求出b的取值范围；

解答 解：（1）∵A（-1，0），B（1.4），
代入：直线y=ax+b，
解得：a=2，b=2，
∴直线y=2x+2，抛物线解析式：y=2x²+2x，
∴C（2，2）；

（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx，
得：ax²+（b-a）x-b=0，
∴（ax+b）（x-1）=0，
解得：x=-$\frac{b}{a}$，x=1，
∴A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0）．
点A、点B的位置如图1所示；


（3）由已知得，C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），
∵$\frac{3}{2}$＜tan∠ODE＜2，
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{OE}{OD}$＜2，
∴$\frac{3}{2}$＜|$\frac{b}{-\frac{b}{2a}}$|＜2，
解得：$\frac{3}{2}$＜|2a|＜2，
∴-1＜a＜-$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{4}$＜a＜1
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由题意可得：1+$\frac{b}{2a}$=a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）
整理得：b=2a²-2a
即：b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
当b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$时，
当-1＜a＜-$\frac{3}{4}$，可得$\frac{21}{8}$＜b＜4．
当$\frac{3}{4}$＜a＜1时，可得-$\frac{3}{8}$≤b＜0
综上所述：$\frac{21}{8}$＜b＜4或-$\frac{3}{8}$≤b＜0．

点评 本题考查抛物线与x轴交点、一次函数、二次函数等知识，解题的关键是把问题转化为解方程组，体现了转化的数学思想，记住两直线平行k相等，题目有点难度，属于中考压轴题．