Question

（2013•南漳县模拟）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的性质以及平行线的性质得出OE=OF，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（2）利用平行四边形及矩形的性质和判定证明四边形AECF是正方形．

解答：解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=

122+52

=13，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∴CO是△ECF上的中线，
∴CO=

1

2

EF=6.5；

（2）点O是AC的中点且∠ACB=90°，
理由：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．

点评：本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．