如图①.已知点D在线段AB上.在△ABC和△ADE中.AD=DE.AB=BC.∠EAD=∠AED=45°.∠BAC=∠BCA=45°.且M为EC的中点．(1)连接DM并延长交BC于N.写出线段CN与AD的数量关系:CN=AD,(2)写出直线BM与DM的位置关系:BM⊥DM,(3)将△ADE绕点A逆时针旋转.使点E在线段CA的延长线上中结论是否仍成立?若成立.请证明,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图①，已知点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，AD=DE，AB=BC，∠EAD=∠AED=45°，∠BAC=∠BCA=45°，且M为EC的中点．
（1）连接DM并延长交BC于N，写出线段CN与AD的数量关系：CN=AD；
（2）写出直线BM与DM的位置关系：BM⊥DM；
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

分析（1）由∠ABC=∠ADE=90°可得DE∥BC，再根据平行线的性质，推出∠DEM=∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN=ED，因为AD=DE，即可得到CN=AD；
（2）由（1）可知CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，从而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN上的中线，再利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的性质即可得到△BMD为等腰直角三角形；
（3）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E=∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．

解答（1）解：CN=AD，理由如下：如图1，
∵AD=DE，AB=BC，∠EAD=∠AED=45°，∠BAC=∠BCA=45°
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE，
∵AD=DE，
∴CN=AD；
故答案为：CN=AD；
（2）解：BM⊥DM，理由如下：
由（1）得：△EMD≌△CMN，
∴CN=AD，DM=MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，BM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∴△BMD为等腰直角三角形，
∴BM⊥DM；
故答案为：BM⊥DM；
（3）解：BM⊥DM仍成立，理由如下：
如图2，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
在△EMD与△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠NMC}\\{EM=CM}\\{∠E=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CN}\\{∠DAB=∠BCN}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM．

点评本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．

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