Question

9．用因式分解法解方程：
（1）x²=15x；
（2）-3x²=9x；
（3）x-2=x（x-2）；
（4）（x+1）²-25（x+1）=0；
（5）-$\sqrt{2}$x²+$\sqrt{6}$x=0；
（6）（x+2）²=3（x+2）；
（7）x²+12x+27=0；
（8）-3x²-4x+7=0；
（9）（2x+5）²-4（2x+5）+3=0；
（10）x⁴-6x²+8=0．

Answer 1

分析 （1）先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（2）先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（3）先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（4）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（5）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（6）先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（7）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（8）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（9）再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，再求解；
（10）将方程的左边分解为四个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到四个一元一次方程，再求解．

解答 解：（1）x²=15x，
x²-15x=0，
x（x-15）=0，
x=0，或x-15=0，
解得x₁=0，x₂=15；

（2）-3x²=9x，
-3x²-9x=0，
-3x（x+3）=0，
-3x=0，或x+3=0，
解得x₁=0，x₂=-3；

（3）x-2=x（x-2），
（x-2）-x（x-2）=0，
（x-2）（1-x）=0，
x-2=0，或1-x=0，
解得x₁=2，x₂=1；

（4）（x+1）²-25（x+1）=0，
（x+1）（x+1-25）=0，
x+1=0，或x-24=0，
解得x₁=-1，x₂=24；

（5）-$\sqrt{2}$x²+$\sqrt{6}$x=0，
-$\sqrt{2}$x（x-$\sqrt{3}$）=0，
-$\sqrt{2}$x=0，或x-$\sqrt{3}$=0，
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{3}$；

（6）（x+2）²=3（x+2），
（x+2）²-3（x+2）=0，
（x+2）（x+2-3）=0，
x+2=0，或x-1=0，
解得x₁=-2，x₂=1；

（7）x²+12x+27=0，
（x+3）（x+9）=0，
x+3=0，或x+9=0，
解得x₁=-3，x₂=-9；

（8）-3x²-4x+7=0，
（x-1）（-3x-7）=0，
x-1=0，或-3x-7=0，
解得x₁=1，x₂=-$\frac{7}{3}$；

（9）（2x+5）²-4（2x+5）+3=0，
（2x+5-1）（2x+5-3）=0，
2x+4=0，或2x-2=0，
解得x₁=-2，x₂=1；

（10）x⁴-6x²+8=0，
（x²-2）（x²-4）=0，
（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$）（x+2）（x-2）=0，
x+$\sqrt{2}$=0，或x-$\sqrt{2}$=0，或x+2=0，或x-2=0，
解得x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，x₃=-2，x₄=2．

点评 本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．