Question

某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．

（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．

（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？

（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．

Answer 1

（1）（50≤x≤70）。

（2）甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元。

（3）30≤m≤40。

【解析】

分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后把点（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解。

（2）先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤70两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解。

（3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可：

根据题意得，，

由W=85，则，解得x₁=20，x₂=60．

又由题意知，50≤x≤70，根据函数性质分析，50≤x≤60，即50≤90－m≤60，∴30≤m≤40。　

解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

∵函数图象经过点（50，10），（70，8），

∴，解得。

∴甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式为（50≤x≤70）。

  （2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，

∴，之得45≤x≤65。

①当45≤x＜50时，

，

∵﹣0.2＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小。

∴当x=45时，W有最大值，（万元）。

②50≤x≤70时，

，

∵﹣0.1＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小。

当x=50时，W有最大值，（万元）。

综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元。

          （3）30≤m≤40。