Question

如图，已知二次函数y=ax²+c图象的顶点为点M（0，-9），且经过点A（3，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）设点D（x，y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（-5，0），四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形．
①求平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当点B在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形ABCD的面积；
③当平行四边形ABCD的面积为64时，请判断平行四边形ABCD是否为菱形？
④是否存在点D，使平行四边形ABCD为正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、M两点坐标代入y=ax²+c即可求得抛物线的解析式；
（2）①根据D点坐标，用y表示出平行四边形ABCD的面积S，进而便可求出平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，
②过点D作DE⊥AC，根据三角形全等的性质，求出OE的长，便可求出平行四边形ABCD的面积，
③根据平行四边形的面积求出D点坐标，进而可判断平行四边形ABCD为菱形，
④不存在，先求出使平行四边形ABCD为正方形是D点的坐标，进而判断D点不在抛物线上，即不存在D点坐标满足题中条件．

解答：解：（1）由题意得

c=-9 9a+c=0

（1分）
解之，得

a=1 c=-9

（2分）
故二次函数的关系式为y=x²-9（3分）

（2）①D（x，y）在二次函数的图象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示点D到AC的距离．
∵AC是平行四边形ABCD的对角线，
∴S=2S△ACD=2×

1

2

×AC•|y|=-8y=-8x2+72．（5分）
当y=0时，x²-9=0，得x=±3
所以二次函数的图象与x轴的另一个交点是（-3，0），
所以，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．（6分）
②如图：当点B在此二次函数图象的对称轴上时，
过点D作DE⊥AC，垂足为点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵点B在二次函数的图象的对称轴上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以OE=2，所以当x=-2时，y=-5，S=40；（8分）
③根据题意，当S=64时，即-8x²+72=64．
解之，得x₁=1，x₂=-1．
故所求的点D有两个，分别为D₁（1，-8）（舍去），D₂（-1，-8）．（9分）
所以平行四边形ABCD不是菱形（或者说明点D不在第三象限）；
点D₂（-1，-8）满足DC=DA，
所以平行四边形ABCD是菱形．（10分）
④当AC⊥BD，且AC=BD时，
平行四边形ABCD是正方形，此时点D的坐标只能是（-1，-4）．（11分）
而坐标为（-1，-4）的点不在二次函数的图象上，
故不存在这样的点D，使平行四边形ABCD为正方形．（12分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和平行四边形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．