分析 延长AB,过点D作DE⊥AB的延长线于E,求出△BED是等腰直角三角形,设DE=x,根据等腰直角三角形的性质求出BE、BD,再求出BC,然后根据等腰直角三角形的性质求出AB,最后根据正切值等于对边比邻边列式计算即可得解.
解答 解:如图,延长AB,过点D作DE⊥AB的延长线于E,
∵∠DBC=90°,∠ABC=45°,
∴∠DBE=180°-90°-45°=45°,
∴△BED是等腰直角三角形,
设DE=x,则BE=x,BD=$\sqrt{2}$x,
在Rt△BCD中,BC=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$x=$\sqrt{6}$x,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{6}$x=$\sqrt{3}$x,
∴AE=AB+BE=$\sqrt{3}$x+x,
所以,∠BAD的正切值=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x+x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
点评 本题考查了解直角三角形,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数,作辅助线构造出以∠BAD为锐角的直角三角形是解题的关键.
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